數學結構

許多如數、函數、幾何等的數學對象反應出了定義在其中連續運算或關系的內部結構。數學就研究這些結構的性質，例如：數論研究整數在算數運算下如何表示。此外，不同結構卻有著相似的性質的事情時常發生，這使得通過進一步的抽象，然后通過對一類結構用公理描述他們的狀態變得可能，需要研究的就是在所有的結構里找出滿足這些公理的結構。因此，我們可以學習群、環、域和其他的抽象系統。把這些研究(通過由代數運算定義的結構)可以組成抽象代數的領域。由于抽象代數具有極大的通用性，它時常可以被應用于一些似乎不相關的問題，例如一些古老的尺規作圖的問題終于使用了伽羅理論解決了，它涉及到域論和群論。代數理論的另外一個例子是線性代數，它對其元素具有數量和方向性的向量空間做出了一般性的研究。這些現象表明了原來被認為不相關的幾何和代數實際上具有強力的相關性。組合數學研究列舉滿足給定結構的數對象的方法。

數學手抄報封面設計圖1

數學空間

空間的研究源自于歐式幾何。三角學則結合了空間及數，且包含有非常著名的勾股定理。現今對空間的研究更推廣到了更高維的幾何、非歐幾何及拓撲學。數和空間在解析幾何、微分幾何和代數幾何中都有著很重要的角色。在微分幾何中有著纖維叢及流形上的計算等概念。在代數幾何中有著如多項式方程的解集等幾何對象的描述，結合了數和空間的概念;亦有著拓撲群的研究，結合了結構與空間。李群被用來研究空間、結構及變化。

數學基礎

主條目：數學基礎

為了弄清楚數學基礎，數學邏輯和集合論等領域被發展了出來。德國數學家康托爾(1845-1918)首創集合論，大膽地向“無窮大”進軍，為的是給數學各分支提供一個堅實的基礎，而它本身的內容也是相當豐富的，提出了實無窮的，為以后的數學發展作出了不可估量的貢獻。

集合論在20世紀初已逐漸滲透到了各個數學分支，成為了分析理論，測度論，拓撲學及數理科學中必不可少的工具。20世紀初，數學家希爾伯特在德國傳播了康托爾的，把集合論稱為“數學家的樂園”和“數學最驚人的產物”。英國哲學家羅素把康托的工作譽為“這個時代所能夸耀的最巨大的工作”。

數學手抄報封面設計圖2

數學邏輯

數理邏輯

數學邏輯專注在將數學置于一堅固的公理架構上，并研究此一架構的成果。就其本身而言，其為哥德爾第二不完備定理的產地，而這或許是邏輯中最廣為流傳的成果。現代邏輯被分成遞歸論、模型論和證明論，且和理論計